Шумом называются нежелательные явления мешающие получать информацию из полезного сигнала. Шум присутствует повсюду, он случаен по своей природе, источниками его может быть как физика самого процесса, который можно зафиксировать, так и неидеальности приемной аппаратуры или оцифровщиков. Нужно различать понятия шумов и полезного сигнала, в том числе и с точки зрения их математического описания.
Детерминированные и случайные сигналы
Давайте рассмотрим, как можно описать полезный сигнал. В качестве математической модели используем детерминированный сигнал заданный аналитической функцией.
Значение сигнала можно определить в любой момент времени, подставив все необходимые аргументы в описывающую его аналитическую функцию. На примере представлены синусоиды, если зафиксировать параметры амплитуды, частоты и фазы, и передавать в формуле меняющееся значение времени, будем получать точное значение сигнала в эти моменты времени.
Детерминированный сигнал
Детерминированный сигнал описываемой аналитической функции, как модель очень удобен, но сигналы реального мира подвержены воздействию множества физических факторов. Их значения могут колебаться от наблюдения к наблюдению, да и сами средства наблюдения также могут вносить погрешность измерений. Проще говоря, реальный сигнал будет отличаться от его аналитического описания на случайную величину ошибки.
Рассмотрим очередной бытовой пример, нагрев воды в чайнике на газовой горелке. Температура воды с течением времени монотонно нарастает, но мы наблюдаем некоторые флуктуации или отклонения. Это может быть обусловлено неравномерной подачей газа в горелке, ветром, термодинамикой, неидеальностью средств измерения, так или иначе полученные отсчеты мы можем приблизить прямой линией.
Прямая линия это детерминированный сигнал описываемой функции. Можно узнать его значение между соседними отчетами, то есть интерполировать данные эксперименты или даже подсчитать величину сигнала за пределами периода наблюдения, то есть использовать его для прогнозирования значений температуры.
Но реальные значения немного отличаются от линейной зависимости в большую или меньшую сторону. Записанный сигнал можно рассматривать, как математическую модель типа детерминированный сигнал плюс случайный процесс. Если с детерминированным описанием сигналов все более менее понятно, то с моделью случайного процесса нам только предстоит познакомиться.
Случайный процесс
Понятие случайного процесса связано с определением случайной функции. Случайная функция это функция, вид который в результате проведения эксперимента мы не можем предугадать. Случайный процесс — случайная функция времени. Конкретный вид результата протекания случайного процесса называется реализацией. На рисунке ниже показан ансамбль реализации одного случайного процесса.
В отличии от сигналов описываемых аналитической функцией, реализация случайного процесса, практически всегда отличаются друг от друга, но общие характеристики у них есть. Как же нам описать случайный процесс без необходимости хранения бесконечного числа его реализаций? Для описания мы используем теорию вероятностей и математическую статистику.
Распределение случайной величины
Простой пример дискретной случайной величины, число выпадающие при броске игральных костей, может выпасть значение от 1 до 6. Величина может принимать одно из шести дискретных значений, но совершенно случайно. Не трудно подсчитать вероятность выпадения какого-либо числа, она равна 1/6 или 16,67% для каждого из дискретных значений.
Рассмотрим пример непрерывной случайной величины. Рост человека, он не изменяется дискретно, может принимать любое значение в разумных пределах. Представим себе, что мы измеряем рост каждого посетителя, кто заходит в магазин. Измерив достаточное количество людей можно построить вот такой график, по оси x отложен рост в сантиметрах, по оси y количество людей с таким ростом.
На графике мы видим дискретные полоски, но эти полоски обозначают количество людей чей рост попадает в определенной пределы. Например, в пределы от 182 до 183 сантиметров. Взглянув на этот график выше, мы понимаем, что чаще всего в магазин заходили люди среднего роста, а посетителей ростом выше двух метров видели редко. То, что было представлено на графике очень близко к понятию плотности распределения случайной величины.
Плотность распределения
Значение плотности распределения показывает вероятность того, что случайная величина примет определенное значение, а частичная площадь под графиком вероятность того, что значение попадет в выбранный предел.
Как вы понимаете, площадь под графиком на всем диапазоне значений равна единице или 100 %. В случае с игральными костями, мы рассматривали равномерное распределение, то есть одинаковую вероятность того, что случайная величина примет, то или иное значение.
В случае с ростом человека, мы наблюдали нормальное распределение, также именуемое распределением Гаусса. Нормальное распределение широко распространено в природе и используется как удобная модель случайного процесса. Популярность эта вытекает из центральной предельной теоремы, она гласит что сумма большого количества слабо зависимых случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному. На отклонение величины от среднего влияет множество факторов, подобно тому, как множество факторов влияет на рост человека, поэтому сумму их влияний можно описать случайным процессом с Гауссовским или Нормальным распределением.
Убедимся в этом в matlab. Смотри с 05:00 минуты!
Плотность распределения это лишь одна из характеристик которыми мы описываем случайные процессы.
