В прошлой статье рассматривали когерентные оптимальные приемники, т.е. приемники, которые знают начальную фазу принимаемого сигнала. Приёмник восстанавливает фазу, там стоит система синхронизации несущей. Если не усложнять структуру приёмника, т.е. не добавлять систему фазовой синхронизации.
Если рассматривать приемники, как демодулятор, это очень просто. Поэтому к приемнику примешиваются различные системы синхронизации с несущей, которые восстанавливают частоту и фазу принимаемого сигнала; тактовая синхронизация, которая должна подбирать время выборки сигнала; амплитудная регулировка, которая должна принимаемый сигнал выравнивать по амплитуде.
Для некоторых видов модуляции, например для амплитудной, частотной не обязательно знать начальную фазу сигнала, т.к. информация заключена в других параметрах, в амплитуде и частоте. Потому что там заложена информация либо в частоте либо в амплитуде, а не в начальной фазе сигнала. Соответственно можно сделать приемник таким образом, чтобы там не было системы синхронизации с несущей и при этом, чтобы приемник не был чувствителен к начальной фазе сигнала, т.е. чтобы он был некогерентным.
Если начальная фаза принимаемого сигнала и фаза опорного сигнала приемника не будут синхронизированы?
На рисунке выше представлен пример для 2-ФМн сигнала: слева – фазовая синхронизация корректная; справа – некорректная. Из-за возникшего сдвига фаз звездная диаграмма повернулась на некоторый угол φо. Если такой сигнал подать на когерентный приемник, то в тот момент времени, когда необходимо брать выборку сигнала, импульс будет иметь меньшую амплитуду, чем в том случае, когда фазы совпадают. Более того, если сдвиг фаз составит φо=90 градусов, то амплитуда импульса (выборки) вовсе будет равна нулю! В этом случае на устройство принятия решения будут поступать только шумы. Если с фазой не угадали, амплитуда выборки просела, а мощность шума осталась постоянной — это говорит о том, что ухудшили отношение сигнал/шум.
Ортогональность сигналов
Ортогональными сигналами называют сигналы у которых коэффициент корреляции равен нулю.
Корреляция это произведение двух сигналов и интеграл от этого произведения. Корреляция это некая степень похожести, чем больше коэффициент корреляции, тем два сигнала больше похожи друг на друга. Если коэффициент корреляции равен единице, то сигналы совпадают, а если нулю, то эти сигналы максимально не похожи друг на друга.
Сигналы s1(t) и s2(t) длительностью Тs называются ортогональными, если их коэффициент корреляции равен нулю:
Если на коррелятор или фильтр, согласованный с сигналом s1(t), подать ортогональный сигнал s2(t) , то на выходе коррелятора или СФ при t=Ts будет ноль. Это означает, что в этом случае будут приниматься только шумы.
Например, на картинке выше, подали ортогональный сигнал на согласованный фильтр (СФ), получили отклик на выходе фильтра, но в тот момент, когда надо брать выборку (это единица, потому что единица это длительность передаваемого сигнала) и получим ноль, как-будто сигнала и нет вовсе, будем принимать одни шумы.
Оптимальный некогерентный приемник АМн сигналов
Сейчас преобразуем оптимальные приемники, сделаем их некогерентными. Ниже на рисунке представлен оптимальный некогерентный приемник для двоичной амплитудной манипуляции. Когда рассматривали когерентный приемник достаточно было одного коррелятора или одного СФ. Здесь уже нужно брать 2 коррелятора. s1(t) = ks2(t).
На один коррелятор подается синус sin(ωt) на второй косинус cos(ωt), т.е. они сдвинуты на 90 градусов. Видим, что эти два коррелятора образуют квадратурный демодулятор, следовательно, на выходе получаем две квадратурные составляющие I и Q.
A=√I^2+Q^2
Если теперь внимательно посмотреть на правую часть приемника, можно увидеть, что в структуре реализовано данное выражение: A=√I^2+Q^2, вычисление амплитуды по квадратурам. В данном приемнике вне зависимости от начальной фазы принимаемого сигнала будет корректно определена амплитуда сигнала.
Некогерентный приемник 2-ЧМн
На рисунке ниже представлена структура оптимального некогерентного приемника сигналов с двоичной частотной манипуляцией. В данном случае количество корреляторов составляет 4, при том, что количество сигналов в ансамбле два. Для каждого сигнала по два коррелятора. Верхние два корреляторы работают на одну частоту, выделяют из шумов сигнал с частотой ω1, нижние два коррелятора выделяют сигнал с частотой ω2.
Данный приемник можно рассматривать, как совокупность двух приемников для АМн сигнала, рассмотренного выше. Каждый приемник настроен на частоту одного из тонов частотной манипуляции. Первый работает на частоте ω1, второй на частоте ω2. Устройство принятия решения сравнивает два значения А1 и А2 и если А1>А2, то считается, что передавался сигнал с частотой ω1, иначе с частотой ω2.
Данный приемник оценивает, на какой частоте сосредоточено больше энергии. Если мы рассматриваем данную структуру оптимального приемника, как два приемника АМн сигналов, настроенных на разные частоты, то возникает вопрос, куда исчезла операция извлечения корня? (см. картинку выше “оптимальный некогерентный приемник АМн сигналов” там на схеме есть корень). На данной структуре операцию извлечения корня можно оставить, но в этом нет необходимости. Если выполняется условие А1>А2, то очевидно что будет выполняться условие √А1>√А2 . Следовательно, операция извлечения корня не влияет на результат принятия решения и является избыточной, поэтому в целях экономии вычислительных ресурсов, данную операцию исключают.
Вероятность битовой ошибки
Рассмотрим, от чего зависит вероятность битовой ошибки, если принимать сигналы с разными видами модуляции оптимальными приёмниками. Аналитическое выражение для получения вероятности битовой ошибки для двоичных равновероятных сигналов, сюда можем отнести АМн,ЧМн и ФМн:
Из выражения, представленного выше, видно, что вероятность битовой ошибки Pb определяется тремя параметрами: Eb, Rb и No.
- Rb – нормированный коэффициент взаимной корреляции;
- Eb – энергия двоичного символа (бита);
- No – спектральная плотность мощности белого шума;
- Q(x) – Q-функция. Q-функция это функция стандартного нормального распределения Гаусса при μ=0 и σ=1.
Чем больше энергия бита, тем меньше вероятность битовой ошибки. Под энергией бита подразумевается энергия сигнала, передающего один бит информации. В свою очередь Eb пропорциональна средней мощности сигнала и длительности бита.
Коэффициент взаимной корреляции Rb – это численный показатель схожести двух сигналов. Чем сигналы сильнее отличаются друг от друга, тем сложнее перепутать их друг с другом. Ошибка возникает из-за того, что путают один сигнал с другим из-за воздействия шумов.
- Если Rb=1, то сигналы являются идентичными;
- если Rb=0, то сигналы являются ортогональными;
- если Rb=-1, то сигналы являются противоположными.
Рассмотрим один из вариантов двоичной модуляции, при которой два сигнала из ансамбля являются ортогональными, т.е. Rb=0. В этом случае вероятность битовой ошибки будет определяться через выражение:
Такой модуляцией может являться 2-ЧМн. В общем случае, коэффициент взаимной корреляции зависит от разницы частот двух сигналов s1(t) и s2(t), но при некоторой разнице частот, 2-ЧМн становится ортогональной модуляцией.
Рассмотрим случай, когда R=-1. Этот случай соответствует модуляции 2-ФМн, для которой выполняется условие s1(t)=-s2(t). Вероятность битовой ошибки будет определяться через выражение:
Из данного выражения видно, что энергия сигнала удвоилась, по сравнению с ортогональной модуляцией. Из этого можно сделать вывод о том, что 2-ФМн является более помехоустойчивой (в 2 раза по энергетике), чем ортогональная 2-ЧМн.
Вернемся еще раз к двоичной частотной манипуляции 2-ЧМн. Ранее уже было сказано, что коэффициент взаимной корреляции зависит от разницы частот между сигналами s1(t) и s2(t). При когерентном приеме Rb определяется через выражение:
где f1 и f2 – частоты сигналов s1(t) и s2(t) соответственно.
Если по выражению Rb построить график, то можно увидеть, что коэффициент корреляции уменьшается с ростом разницы частоты.
Однако также можно наблюдать, что когда разница частот удовлетворяет условию: f2-f1=n/2T то коэффициент взаимной корреляции становится равен нулю.
Здесь n – любое натуральное число, T – длительность символа (сигнала из ансамбля). Из этого выражения можно сделать вывод о том, что коэффициент корреляции Rb зависит не только от разницы частот (f1 — f2), но и от длительности символа Т. Наименьшая разность частоты, при которой обеспечивается ортогональность сигналов (Rb = 0), составляет: f2-f1=1/2T.
Например, если символьная скорость будет равна 1200 бод (символов/с), то наименьшая разница частот, при которой Rb = 0, составит 600 Гц. Двоичная частотная манипуляция, при которой выполняется условие f2-f1=1/2T, называется модуляцией (манипуляцией) с минимальным сдвигом ММС (англ. MSK).
На рисунке ниже представлен график зависимости вероятности битовой ошибки Pb при когерентном приеме ортогональной 2ЧМн (синий график) и 2ФМн (красный график).
Если посмотреть на значения графиков для вероятности битовой ошибки Pb=10^-8, то увидим, что требуемое отношение сигнал/шум Eb/No составит 15 дБ для 2-ЧМн и 12 дБ для 2-ФМн, т.е. разница составляет 3 дБ, что составляет 2 раза по мощности. Это объясняется тем, что сигналы 2-ФМн являются менее похожими (Rb = -1) чем сигналы 2-ЧМн (Rb = 0).
