Случайный процесс колеблется вокруг какого-то среднего значения, и значение это называется математическим ожиданием. Насколько сильно значение случайного процесса могут отличаться от мат. ожидания описывает параметр дисперсия — мера разброса случайной величины. Также в качестве меры разброса употребляется среднеквадратичное отклонение, также именуемое стандартным отклонением, значение его квадратный корень из дисперсии.
- μ – математическое ожидание, вокруг какого значения колеблется.
- σ – дисперсия, насколько отклоняется
На рисунке представлены нормальные распределения четырех случайных процессов с разными значениями математического ожидания и дисперсии. В случае большего значения дисперсии, колокол Гауссовского распределения более широкий и низкий, что говорит о большей вероятности выпадения экстремальных значений и меньшей вероятности значений близких к мат. ожиданию.
В качестве меры скорости изменения случайного процесса может использоваться автокорреляционная функция, или просто корреляционная функция. Она описывает зависимость взаимосвязи сигнала с его сдвинутой во времени копией от величины временного сдвига.
В случае нулевого сдвига, сигналы полностью совпадают и значение автокорреляционной функции максимально. При увеличении расхождения это значение уменьшается. Причем для слабо изменяющихся во времени сигналов спад функции происходит медленнее чем для быстро изменяющихся.
Математическое ожидание, дисперсия, автокорреляционная функция это примеры численных характеристик, которыми можно описать случайный процесс. Законы изменения реальных физических величин весьма сложны, и для того чтобы мы могли описывать их доступным нам математическим аппаратом, нам часто приходится делать определенные допущения.
При описании сигналов случайными процессами, мы часто оговариваем свойства стационарности и эргодичности. Стационарным называется процесс в том случае, когда его плотность вероятности не зависит от временного сечения, то есть его статистические характеристики, мат ожидания, дисперсия, корреляционная функция не будут зависеть от времени. Стационарный процесс считается эргодическим, если для определения его характеристик вместо усреднения по ансамблю реализации, мы можем использовать усреднение по времени одной реализации, на практике нам обычно доступна только одна реализация случайного процесса.
Спектральная плотность мощности
Спектральная плотность мощности по определению это распределение мощности сигнала в зависимости от частоты, то есть мощность приходящаяся на единичный интервал частоты. Мы можем рассматривать спектральную плотность мощности как еще одну меру скорости изменения случайного процесса, она связана с корреляционной функции случайного процесса, теоремы Винера — Хинчина — Колмагорова.
Рассмотрим два синусоидальных сигнала разной частоты. Частотные области этих сигналов будут представлены двумя линиями. Положение линии на оси x говорит о величине частоты синусоиды, а длина линии, о ее мощности или амплитуде. Случайные процессы мы также можем рассматривать, как кусочки и отрезки различных синусоид, разной амплитуды и фазы, меняющейся быстро или медленно.
Спектр медленно изменяющегося случайного процесса содержит больше синусоид или спектральных компонент в левой части оси f, то есть в зоне низких частот. В то время как спектр быстро меняющегося процесса содержит больше компонент, большей амплитуды в правой части частотной оси.
Белый шум
Случайный процесс у которого область частот заполнено равномерно называется белым шумом.
Белый шум это стационарный случайный процесс, с равномерно распределенной спектральной плотностью мощности.
В таком процессе присутствуют компоненты изменяющиеся быстро, медленно, средне и ни одна из них не преобладает над другими.
Белый шум получил свое название по аналогии со спектром белого света. Известно, что белый цвет получается в результате сложения всех других цветов видимого диапазона.
Если в качестве аналогии и далее использовать видимый диапазон длин волн, то определенным цветом можно обозначить преобладание в спектре сигнала определенных компонент.
Если наложить красный светофильтр, то мы пропустим только более длинные волны, или более низкие частоты.
Если наложим синий фильтр, получим сигнал с относительно высокими частотами в спектре.
Цветовое обозначение частотного состава используется для описания так называемых цветных шумов, они никак не привязаны к какому-либо конкретному частотному диапазону и различаются только видом их спектральной плотности мощности. Цветные шумы, в том числе и белый шум это модели шумов, приближающие некоторые физические явления.
К примеру, процессы генерации и рекомбинации носителей заряда в цепях постоянного тока приводят к фликкер-шуму, который достаточно успешно описывается моделью розового шума. Красный шум описывает броуновское движение, модель серого шума используется в псих акустике и так далее.
Аддитивный белый гауссовский шум
Аддитивный белый гауссовский шум чаще всего используется в цифровой обработке сигналов .
Аддитивный белый гауссовский шум:
- у него равномерная спектральная плотность мощности, поэтому он белый;
- нормальное распределение, поэтому он гауссовский;
- с полезным сигналом он суммируется, поэтому он аддитивный;
- статистически он от сигнала независим.
На системы беспроводной связи и обработки сигналов воздействует множество разнообразных широкополосных шумов, не связанных друг с другом. По центральной предельной теореме, распределение их суммарного воздействия будет близко к нормальному, именно поэтому данная модель наиболее распространена в системах ЦОС и системах связи, и используется как модель канала передачи данных.
Отношение сигнал/шум
Шум в подобных системах конечно же является нежелательным явлением. Одной из мер качества системы является отношение сигнал-шум. Это безразмерная величина равная отношению мощности полезного сигнала к мощности шума.
Отношение сигнал-шум часто измеряется в децибелах, для разных систем приемлемые значения этого отношения могут сильно отличаться, но в любом случае, чем выше этот показатель, тем лучше. Одна из задач цифровой обработки сигналов повышение отношения сигнал-шум, существуют разные способы повышения это фильтрация и усреднение.
Усреднение или когерентное накопление
Если мы сложим два одинаковых сигнала по фазе, то амплитуда результирующего сигнала будет вдвое больше. Положительные отсчёты сложатся с положительными, отрицательные с отрицательными.
Но сложить две реализации случайного процесса в фазе не получится, в каких-то точках произойдет усиление, каких-то ослабление шума. Проще говоря, при усреднении амплитуда шума не растет.
Накопление сигнала с шумом в matlab
Динамический диапазон и чувствительность
Динамический диапазон это характеристика системы, представляющая логарифм отношения максимального и минимального возможных значений величины входного параметра. Сверху этот диапазон обычно ограничен порогом искажений, а снизу так называемым шумовым дном, или чувствительностью.
Чувствительность это численный параметр равный уровню сигнала различимого системы над шумами, если у системы хорошая чувствительность, значит она меньше восприимчива к внешним помехам, имеет меньший уровень собственных шумов, и за счет этого способны различать сигналы малой энергетики.
