Спектры действительного и аналитического сигналов

Рассмотрим спектры s(t)=A(t)cos(θ(t)) и z(t)=A(t)(cosθ(t)+isinθ(t)). Будем рассматривать спектр, как результат преобразования Фурье, т.е. там фигурируют и отрицательные частоты, это результат математического преобразования. Перед прочтением статьи, чтобы было все ясно, прочитайте статью про комплексное представление гармонических сигналов.

Если мы посмотрим на спектр действительного сигнала s(t), мы увидим спектр модулированного сигнала, который находится в положительных частотах, который располагается вблизи частоты несущей, а в отрицательных частотах, мы увидим его полную копию.

Спектр действительного сигнала

Что будет если мы построим спектр аналитического сигнала, который определяется через комплексную экспоненту? 

Спектр положительных и отрицательных частот, может иметь произвольную форму. 

Спектр вещественного сигнала

Если мы заменим cos на комплексную экспоненту, мы увидим сигнал, который показан на рисунке выше. В положительной части спектр фигурирует, а в отрицательной исчезнет. 

Когда мы рассматриваем спектр вещественного сигнала, то в отрицательно области частот, всегда будет повторяться то, что находится в области положительных частот. А для аналитического сигнала это не так. 

ВОПРОС: Частота несущей несет в себе какую-либо информацию?

Частота несущей в себе никакой информации не несет, подразумевается, что мы её знаем, когда принимаем этот сигнал. Соответственно, мы можем от нее избавиться.

На рисунке спектр действительно сигнала s(t), который определяется через cos и он содержит в себе, как спектр положительной области, так и копию в отрицательной. 

спектр сигнала

Что будет с этим спектром если мы, сигнал умножим на комплексную экспоненту? Одна половинка будет в нуле, а другая уйдет дальше вниз по частоте.

Смещение спектра по частоте

Что будет если мы пропустим сигнал через ФНЧ фильтр нижних частот? ФНЧ пропускает, то что возле нуля Гц. А то, что выше частоты среза он подавляет.

Спектр и ФНЧ

Представление комплексных сигналов без несущей частоты. Baseband signals

Ниже запись аналитического сигнала через комплексную экспоненту.

аналитический сигнала через комплексную экспоненту

Мы должны избавиться от частоты несущей, т.е. от ω0. Математически мы должны аналитический сигнал, выше на картинке, z(t) умножить на комплексную экспоненту, где в аргументе фигурирует ω0, только еще со знаком “минус”. 

Когда мы умножаем сигнал на комплексную экспоненту, ωt это равносильно тому, что мы смещаем частоту этого сигнала. Если в аргументе плюс, то вверх по частоте, если минус, то вниз по частоте. Источник статья про комплексное представление гармонических сигналов.

Зачем нужно представление сигнала без несущей?

  • Позволяет перейти от ВЧ сигнала к низкочастотному эквиваленту. Чем ниже частота несущего сигнала, тем  проще с ним работать, проще его обрабатывать с точки зрения техники. 
  • Позволяет перейти к векторному представлению сигналов и простому описанию фазоманипулированных сигналов и КАМ сигналов.

Рассмотрим на примере оцифровки сигнала. Есть ВЧ колебание, из эфира приняли сигнал приёмником, усилили сигнал, отфильтровали и хотим оцифровать. Есть частота несущей, по теореме Котельникова: 

частота дискретизации должна быть не менее, чем в 2 раза больше, чем самая верхняя частота в спектре. 

На картинке ниже f0 — частота несущей. fd — частота дискретизации, которая не менее, чем в 2 раза выше fверх — верхней частоты. На уровне техники, физических приборов можем преобразовать сигнал без несущей. 

оцифровка сигнала

Можем сместить этот сигнал вниз по частоте или вверх, либо полностью избавиться от частоты несущей и спектр сигнала будет располагаться вокруг нуля. Тогда частота дискретизации будет определяться только полосой сигнала. 

частота дискретизации

Пример модели в Matlab Simulink. Если посмотрите на спектр сигнала, то увидите, что он сосредоточен возле нуля.

basebank сигнал в matlab

ЗАМЕЧАНИЯ:

  1. Baseband сигнал можно представить только в комплексной форме! Обязательно будет и вещественная часть и мнимая.
  2. Нельзя из Baseband сигнала  получить действительный сигнал s(t) путем взятия реальной части от zB(t): s(t)=Re[zв(t)] — Некорректно.

Векторное представление гармонических сигналов, представленных в комплексной форме

Комплексное число можно представить в векторной форме:

Комплексное число в векторной форме

S(t) — Zв(t); Zв(t)=A(t)*e^jθ(t) если мы от этого сигнала возьмем мгновенное значение, в конкретный момент времени t0, у нас получится какое-то число. И это число можно представить в виде радиус вектора. Длина этого вектора это амплитуда сигнала, а угол, между осью х и у это фаза θ. Вектор откладывается на комплексной плоскости в декартовой системе координат. На графике выше по оси х откладываются вещественные части, по оси у мнимые части. Сигнал z(t)=A·e^i·2·pi·f·t можно представить как вращающийся вектор с частотой f.

Вращающийся вектор

Картинка выше поясняет взаимосвязь между гармоническими функциями и векторным представлением. Если мы возьмем аналитический сигнал, где фигурирует частота f, амплитуда A, мы этот сигнал можем представить, как вектор, который вращается с этой частотой. 

Векторная интерпретация Baseband сигналов

Вч и baseband сигнал

Остальные статьи в разделе радиосвязь, читай! Если есть вопросы задавай в комментариях!

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector