Поговорим об основном ограничении при дискретизации аналогового сигнала описываемого теоремой Котельникова, и это ограничение тесно связан с понятием частоты периодического дискретного сигнала.
Что такое частота
Частота это величина обратная периоду, и она может измеряться либо в секундах, либо в отчётах в зависимости от того говорим о непрерывном сигнале или о дискретном сигнале.
f=1/T
Где, f — частота, измеряется в радианах/ ед. времени или циклах / ед. времени; T — период, который измеряется в секундах или отсчетах.
- Непрерывный сигнал: Т0(секунды): (1 цикл=2π радиан)
- Дискретный сигнал: N (отсчеты): 1/N (1 цикл=2πm радиан)
Частота может измеряться в радианах в единицу времени или циклах в единицу времени. Важно отметить то, что цикл для непрерывного сигнала может быть равен 2π радиан, а цикл для дискретного сигнала может быть равен 2π умножить на m радиан, где m это целое число. Это приводит нас к понятию неоднозначности определение частоты дискретного сигнала, не будем углубляться формула давайте посмотрим на конкретном примере.
Наложение сигналов при дискретизации
Мы говорим о том, что для непрерывных сигналов две синусоиды с разными частотами не равны друг другу, но в случае двух дискретных синусоид, если частота одной отличается от другой на m*2π мы не сможем их различить.
Представьте себе обыкновенные часы (рисунок выше), мы явно видим минутную стрелку и часовую стрелку потому что это непрерывно изменяющиеся величины, но если мы будем фотографировать эти часы в моменты времени, когда минутная стрелка накладывается на часовую стрелку, мы не увидим часовой стрелки фактически происходит наложение одного дискретного сигнала на другой дискретный сигнал, то же самое происходит при дискретизации двух аналоговых сигналов.
Рассмотрим пример двух синусоид, одна синусоида изменяется медленно, другая синусоида изменяется быстро.
Мы берем дискретные отчеты этих синусоид в моменты времени 1, 2, 3, 4 и так далее, и можем наблюдать то, что форма двух дискретных сигналов абсолютно одинакова. Произошел эффект алиасинга или наложение двух сигналов при дискретизации.
Алиасинг это эффект неразличимости сигналов при их дискретизации, нам его надо избегать.
Как вы уже поняли из представленных графиков, выбранной частоты дискретизации хватает для того, чтобы описать в дискретном виде медленно изменяющуюся синусоиду, но явно не хватает для того чтобы описать быстро изменяющуюся и мы приходим к определению основного ограничения при дискретизации сигналов.
Теорема Котельникова — определение
Теорема Котельникова гласит о том, что непрерывный сигнал с ограниченным спектром можно точно восстановить по его дискретным отчетам, если они были взяты с частотой дискретизации, превышающей максимальную частоту сигнала минимум в два раза!
В виде формулы это можно описать, как частота дискретизации fs должна быть больше или равна чем 2f максимальное.
fs≥2fmax
В том случае, если это условие не выполняется, мы берем дискретные отчеты слишком редко. Мы не знаем как меняется сигнал в промежутках между дискретными и конечно же теряем информацию.
В том случае, если условие выполняется между отдельными дискретными отчетами,сигнал меняется относительно медленно, и поэтому восстановления исходной формы аналогового сигнала возможно.
Эффект наложения при прослушивании звукового сигнала в matlab
Для того чтобы теорема Котельникова соблюдалась всегда, достаточно постоянно брать очень большое значение частоты дискретизации. Насколько это удачное решение? На самом деле не очень, потому что мы работаем с системами передачи данных, с системами хранения данных и если мы медленно изменяющийся сигнал будем оцифровывать с огромной частотой дискретизации, то объемы данных которые мы даже думаем пропускать, обрабатывать и хранить будут сильно превышать требуемые. Что конечно же будет требовать больших вычислительных ресурсов и памяти для хранения. Впрочем принцип работы некоторых устройств как раз основан на выборе завышенных значений частоты дискретизации, одно из них это сигма-дельта АЦП аналого-цифровой преобразователь.
